第十九章 平面直角坐标系
一、选择题(本大题有16个小题,共42分.1~10小题各3分;11~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在平面直角坐标系中,依次描出下列各点,并将各组内的点依次连接起来:
(1)(2,1),(2,0),(3,0),(3,4);
(2)(3,6),(0,4),(6,4),(3,6).
你发现所得的图形是( C )
A.两个三角形 B.房子 C.雨伞 D.电灯
2.在平面直角坐标系中,点P(-2,-3)所在的象限是( C )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是( D )
A.(-2,-3) B.(3,-2) C.(2,3) D.(-2,3)
4.平面直角坐标系内的点A(-1,2)与点B(-1,-2)的位置关系是( B )
A.关于y轴对称 B.关于x轴对称
C.关于原点对称 D.无法确定
5.在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,a2+1),则点P所在的象限是( B )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.在平面直角坐标系xOy中,若A点坐标为(-3,3),B点坐标为(2,0),则△ABO的面积为( D )
A.15 B.7.5 C.6 D.3
7.如图,在边长为1的正方形网格中,将△ABC向右平移2个单位长度得到△A′B′C′,则与点B′关于x轴对称的点的坐标是( D )
A.(0,-1)
B.(1,1)
C.(2,-1)
D.(1,-2)
8.在坐标平面内,将点A(0,0)、B(2,4)、C(3,0)、D(5,4)、E(6,0)顺次连接起来,此图形是英文字母( D )
A.V B.E C.W D.M
9.若点P(a,a-2)在第四象限,则a的取值范围是( B )
A.-2<a<0 B.0<a<2 C.a>2 D.a<0
10.小明住在学校正东方向200米处,从小明家出发向北走150米就到了李华家.若选取李华家为原点,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,则学校的坐标为( B )
A.(-150,-200) B.(-200,-150) C.(0,-50) D.(-150,200)
11.(2017•邢台县期中)如图,在5×4的方格纸中,每个小正方形的边长为1,点O,A,B在方格纸的交点(格点)上,在第四象限内的格点上找点C,使△ABC的面积为3,则这样的点C共有( B )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
第11题图 第13题图
12.若点A(a+2,b-1)在第二象限,则点B(-a,b-1)在( A )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
13.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( D )
A.60海里 B.45海里 C.203海里 D.303海里
14.在平面直角坐标系中,把△ABC的各顶点的横坐标都除以14,纵坐标都乘13,得到△DEF,把△DEF与△ABC相比,下列说法中正确的是( A )
A.横向扩大为原来的4倍,纵向缩小为原来的13
B.横向缩小为原来的14,纵向扩大为原来的3倍
C.△DEF的面积为△ABC面积的12倍
D.△DEF的面积为△ABC面积的112
15.在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α,A]”(α≥0,0°<A<180°)后的行动结果为:在原地顺时针旋转A后,再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点,正前方为y轴的负半轴,则它完成一次指令[4,30°]后位置的坐标为( B )
A.(-2,23) B.(-2,-23)
C.(-2,-2) D.(-2,2)
16.在平面直角坐标系中,把点P(-5,3)向右平移8个单位得到点P1,再将点P1绕原点旋转90°得到点P2,则点P2的坐标是( D )
A.(3,-3) B.(-3,3)
C.(3,3)或(-3,-3) D.(3,-3)或(-3,3)
二、填空题(本大题有3个小题,共10分.17~18小题各3分;19小题有2个空,每空2分.把答案写在题中横线上)
17.(2017•定州市期中)若点P(m+3,m+1)在x轴上,则点P的坐标为________.
18.同学们玩过五子棋吗?它的比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算胜.如图是两人玩的一盘棋,若 的位置是(1,-5), 的位置是(2,-4),现轮到黑棋走,你认为黑棋放在________位置就获得胜利了.
第18题图 第19题图
19.如图,将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2016次,依次得到点P1,P2,P3,…,P2016,则点P1的坐标是________,点P2016的坐标是________.
三、解答题(本大题有7个小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.(8分)在平面直角坐标系中,已知点P的坐标为(2a+6,a-3).
(1)当点P的坐标为(4,-4)时,求a的值;
(2)若点P在第四象限,求a的取值范围.
21.(9分)如图是中国象棋棋盘的一部分,棋盘中“马”所在的位置用(2,3)表示.
(1)图中“象”的位置可表示为____________;
(2)根据象棋的走子规则,“马”只能从“日”字的一角走到与它相对的另一角;“象”只能从“田”字的一角走到与它相对的另一角.请按此规则分别写出“马”和“象”下一步可以到达的位置.
22.(9分)如图是小明家和学校所在地的简单地图,已知OA=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm,点C为OP的中点,回答下列问题:
(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方?
(2)学校、商场和停车场分别在小明家的什么方位?
(3)如果学校距离小明家400m,那么商场和停车场分别距离小明家多远?
23.(9分)如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,在正方形的一个角上剪去长方形CEFG,其中E,G分别是边CD,BC上的点,且CE=3,CG=2,剩余部分是六边形ABGFED,请你建立适当的直角坐标系求六边形ABGFED各顶点的坐标.
24.(10分)△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)分别写出下列各点的坐标:A′________;B′________;C′________;
(2)说明△A′B′C′由△ABC经过怎样的平移得到;
(3)若点P(a,b)是△ABC内部一点,则平移后△A′B′C′内的对应点P′的坐标为________;
(4)求△ABC的面积.
25.(11分)如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(a,0),点C的坐标为(0,b),且a、b满足a-4+|b-6|=0,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的线路移动.
(1)a=________,b=________,点B的坐标为________;
(2)当点P移动4秒时,请指出点P的位置,并求出点P的坐标;
(3)在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,求点P移动的时间.
26.(12分)已知△ABC是等腰直角三角形,AB=2,把△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF.如果E是BC的中点,AC与DE交于P点,以直线BC为x轴,点E为原点建立直角坐标系.
(1)求△ABC与△DEF的顶点坐标;
(2)判断△PEC的形状;
(3)求△PEC的面积.
答案
17.(2,0) 18.(2,0)或(7,-5)
19.(1,3) (4031,3) 解析:∵等边三角形的边长为2,∴P1(1,3),而P1P2=P2P3=2,∴P2(3,3),P3(5,3),依此类推,Pn(1+2n-2,3),即Pn(2n-1,3).当n=2016时,P2016的坐标是(4031,3).
20.解:(1)∵点P的坐标为(4,-4),∴2a+6=4,a-3=-4,解得a=-1.(3分)
(2)∵点P(2a+6,a-3)在第四象限,∴2a+6>0,a-3<0,(5分)解得-3<a<3.(8分)
21.解:(1)(5,3)(3分)
(2)“马”下一步可到达的位置有(1,1),(3,1),(4,2),(1,5),(3,5),(4,4);(6分)“象”下一步可到达的位置有(3,1),(7,1),(3,5),(7,5).(9分)
22.解:(1)∵点C为OP的中点,∴OC=12OP=12×4=2(cm).(2分)∴OC=OA,即距小明家距离相同的是学校和公园.(3分)
(2)学校在小明家北偏东45°方向,商场在小明家北偏西30°方向,停车场在小明家南偏东60°方向.(6分)
(3)图上1cm表示400÷2=200(m),商场距离小明家2.5×200=500(m),停车场距离小明家4×200=800(m).(9分)
23.解:分别以边AB,AD所在的直线为坐标轴,建立直角坐标系,如图所示.(3分)
∵点A是原点,∴A(0,0).∵点B,D分别在x轴、y轴上,且AB=AD=4,∴B(4,0),D(0,4).(5分)∵点D,E的纵坐标相等,且DE=CD-CE=1,∴E(1,4).(6分)∵点B,G的横坐标相等,且BG=BC-CG=2,∴G(4,2).(7分)∵点F与点E的横坐标相等,与点G的纵坐标相等,∴F(1,2).(8分)综上所述,六边形ABGFED各顶点的坐标分别为A(0,0),B(4,0),G(4,2),F(1,2),E(1,4),D(0,4).(答案不唯一)(9分)
24.解:(1)(-3,1) (-2,-2) (-1,-1)(3分)
(2)△ABC先向左平移4个单位,再向下平移2个单位得到△A′B′C′.(5分)
(3)(a-4,b-2)(7分)
(4)S△ABC=2×3-12×2×2-12×1×3-12×1×1=2.(10分)
25.解:(1)4 6 (4,6)(3分)
(2)∵点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的线路移动,∴2×4=8.∵OA=4,OC=6,∴当点P移动4秒时,在线段CB上,离点C的距离是8-6=2,(6分)∴点P的坐标是(2,6).(7分)
(3)由题意可得,在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,存在两种情况:第一种情况,当点P在OC上时,点P移动的时间是5÷2=2.5(秒);(9分)第二种情况,当点P在BA上时,点P移动的时间是(6+4+1)÷2=5.5(秒).故在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,点P移动的时间是2.5秒或5.5秒.(11分)
26.解:(1)连接AE,CD.∵△ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点,∴AE⊥BC,∴AE2+CE2=2CE2=AC2,∴CE=22AC.(2分)又∵△DEF是由△ABC平移得到的,∴CE=AE=BE=CF=CD=22AC=22×2=1,EF=2CE=2.(4分)∴A(0,1),B(-1,0),C(1,0),D(1,1),E(0,0),F(2,0).(5分)
(2)根据平移的性质,可知DE∥AB,∴∠PEC=∠B=45°,∠EPC=∠A=90°,∴△PEC是等腰直角三角形.(9分)
(3)S△PEC=12PC•PE=12PC2=12×12CE2=14.(12分)